Doğruysa yanlış, yanlışsa doğru: Russell Paradoksu

Doğruysa yanlış, yanlışsa doğru: Russell Paradoksu

Russell Paradoksu; 18 Mayıs 1872’de Galler’de doğmuş ünlü matematik ve mantık dâhisi Bertrand Russell tarafından ortaya atılmış bir paradokstur.

Küme kuramında bulunan oldukça büyük bir probleme çözüm gereken bu paradoks, kısaca tanımlanan bir kümenin aslında bir küme olmadığını söyler.

En başında kümeyi tanımlamak gerekirse, küme ; iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. İlkokuldan beri gördüğümüz ve birçok alanda kullanılan küme kavramında neden “iyi tanımlanmış” detayı vardır?

Bunun sebebini Russell Paradoksunun en meşhur çatışkısı olan Yamyamlar Paradoksu ile örnekleyerek anlatalım :

Bir yamyam kabilesi, her yakaladığı yabancıyı bir soru sorarak ve kişi cevabı doğru bilirse haşlayarak, yanlış bilirse kızartarak yerler. Bir gün bir mantıkçıyı yakalayan yamyamlar, aynı soruyu bu kişiye de sorar.

  • Seni haşlayarak mı yiyeceğiz, yoksa kızartarak mı ?

Mantıkçı bir süre düşündükten sonra şu cevabı verir:

  • Kızartarak !

Cevabı duyan yamyamlar ne yapacağını şaşırır.

Çünkü mantıkçının cevabı doğru olursa haşlamaları gerekir, ancak haşlarlarsa mantıkçının cevabı yanlış olur, yanlış olursa da kızartmaları gerekir, ancak kızartırlarsa mantıkçının cevabı doğru olur, yine başa dönülür.

Sonuç olarak yamyamlar ne mantıkçıyı kızartabilir, ne de haşlayabilir.

Bu da kümenin yeteri kadar iyi tanımlanmadığını gösterir.

Russell paradoksunu sembollerle ifade etmek gerekirse ;

R={xxR}

Şeklinde tanımlayabiliriz.

Sözel olarak ifade etmek gerekirse; bu kümenin elemanı, aslında bu kümenin elemanı değildir.

x R’nin elemanı olsaydı, R’nin elemanı olmayacaktı. Buna göre R kümesi kendini kapsar mı ? sorusu üzerinde düşünebiliriz. R R’nin elemanı olsaydı, R’nin elemanı olmayacaktı. İlk bakışta kendini barındırmıyor diyebiliriz. Ancak tanımdan yola çıkarsak R R’nin elemanı değilse, R’nin elemanıdır. Yani kendini barındırır. Hem kendini barındırıp hem de barındırmama durumu bir paradoks oluşturur ve bu paradoks 1901 yılında ortaya atılan Russell Paradoksu’dur.

Bu paradoksun da katkısıyla, son yıllarda ortaya çıkan puslu mantığa göre, bütün önermeler doğru ya da yanlış olarak kategorize edilemez. Bu da akıllara şu soruyu getirir; matematikte çelişki var mıdır ?

Uzun yıllar boyunca tartışma konusu olan bu soruya, 1930 yılında Kurt Gödel bir açıklık getirmiştir. Matematikte çelişkinin olmadığının kanıtlanamayacağını ispatlamıştır. Ancak bu matematiğin çelişkili olmadığı anlamına değil, bunun kanıtlanamayacağı anlamına gelir. 1901 yılında ortaya atılan Russell Paradoksu, Kurt Gödel’in bu büyük ispatının önünü açmıştır da diyebiliriz. Çünkü Russell Paradoksu’nda matematiğin çelişkisiz olmadığı gösterilmiş, matematik dünyasındaki en büyük tabulardan birini sarsmıştır.

Modern mantığın kurucularından biri olan ünlü Alman matematikçi ve mantıkçı Frege; 1893’te yayınladığı Aritmetiğin Temelleri adlı ünlü çalışmasında aritmetiği sağlam şekilde inşa edilmiş bir kümeler kuralına indirgemek istemiştir. 1902’de kitabın tam ikinci cildini baskıya verdikten sonra, Russell’dan aldığı mektupla adeta yıkılmış, yıllarca emek verdiği çalışması ve teorisi bir mektupla çürümüş ve yok olmuştur, kendisi de bu olayı şöyle anlatmıştır:

“Bir bilim insanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu.”

Bu yazımızdan çıkartabileceğimiz bir iki ufak mesaj vardır diye düşünüyorum. Öncelikle içinde bulunduğumuz dünya sürekli ama sürekli değişmekte, dolayısıyla biz ve fikirlerimiz de değişiyor. Bilim dünyasında yüzyıllarca doğru bilinen bir teori ertesi gün çürütülebilir;  yerine yenisi, daha iyisi, daha geniş kapsamlısı da gelebilir. Bizleri birer mühendis, mantıkçı, matematikçi, bilim insanı olmaya itenin de bu olduğunu düşünüyorum. Bir şeyleri her zaman olduğu gibi kabul etmemek, ya da o fikri, düşünceyi, teoriyi çürütmek, yerine daha fonksiyonel bir şey getirmek, aslında hepimizin yapabileceği şeyler.